前言
需要将题目中的常数作以代换，以便于更好的使用均值不等式。
一、案例说明
例1【2019届宝鸡市高三理科数学质检Ⅱ第16题】
已知三角形的内角\(A、B、C\)所对的对边分别是\(a、b、c\)，若\(a=\sqrt{2}\)，\(b^2-c^2=6\)，则角\(A\)最大时，三角形\(ABC\)的面积为_________。
分析：由\(cosA=\cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\cfrac{b^2+c^2-2}{2bc}=\cfrac{b^2+c^2-\cfrac{b^2-c^2}{3}}{2bc}=\cfrac{b^2+2c^2}{3bc}\ge \cfrac{2\sqrt{2}}{3}\)，
即\(cosA\)的最小值为\(\cfrac{2\sqrt{2}}{3}\)，当且仅当\(b=\sqrt{2}c\)且\(b^2-c^2=6\)，即\(b=2\sqrt{3}\)，\(c=\sqrt{6}\)时取到等号；
此时\(A\)取到最大值，\(sinA=\cfrac{1}{3}\)，
故\(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}bcsinA=\cfrac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times \sqrt{6}\times \cfrac{1}{3}=\sqrt{2}\)。
反思：①常数代换，由\(2=\cfrac{6}{3}=\cfrac{b^2-c^2}{3}\)，之所以做常数代换，是为了整理后便于使用均值不等式求\(cosA\)的最值。
②教师备用，也可以这样考虑，\(cosA=\cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)，即\(f(c)=\cfrac{2c^2+4}{2\sqrt{c^2+6}c}(c>0)\)，求函数\(f(c)\)的最小值，如果想运算简单，还可以考虑求\(f(c)^2=\cfrac{(2c^2+4)^2}{4(c^2+6)c^2}(c>0)\)的最小值。
例2【2019届宝鸡市高三理科数学二轮资料用题】【2018江西南昌二模】
在三角形\(\triangle ABC\)中，\(A=\cfrac{\pi}{6}\)，\(S_{\triangle ABC}=2\)，则\(\cfrac{2sinC}{sinC+2sinB}+\cfrac{sinB}{sinC}\)的最小值为【】
分析：由题目易知\(bc=8\)，又所求可以用角化边转化为\(\cfrac{2sinC}{sinC+2sinB}+\cfrac{sinB}{sinC}=\cfrac{2c}{c+2b}+\cfrac{b}{c}\)；
法1：接下来，可以考虑\(b=\cfrac{8}{c}\)，代入上式，将二元函数转化为一元函数，但尝试后思路卡壳，故思维需要转向；
法2：令\(\cfrac{b}{c}=t\)，原式=\(\cfrac{2c}{c+2b}+\cfrac{b}{c}=\cfrac{2}{1+2\cdot \frac{b}{c}}+\cfrac{b}{c}\)，
\(=\cfrac{2}{1+2t}+t=\cfrac{2}{1+2t}+\cfrac{1}{2}(1+2t)-\cfrac{1}{2}\)
\(=\cfrac{2}{1+2t}+\cfrac{1+2t}{2}-\cfrac{1}{2}\ge 2-\cfrac{1}{2}=\cfrac{3}{2}\)
当且仅当\(\cfrac{2}{1+2t}=\cfrac{1+2t}{2}\)，即\(t=\cfrac{1}{2}\)时，即\(b=2\)，\(c=4\)时取到等号；
法3：为能用上\(bc=8\)，需要将表达式做相应的变形，且\(c^2=\cfrac{64}{b^2}\)
原式=\(\cfrac{2c}{c+2b}+\cfrac{b}{c}=\cfrac{2bc}{b(c+2b)}+\cfrac{bc}{c^2}\)
\(=\cfrac{2\times 8}{8+2b^2}+\cfrac{8}{c^2}==\cfrac{16}{8+2b^2}+\cfrac{b^2}{8}\)
\(=\cfrac{8}{4+b^2}+\cfrac{b^2}{8}=\cfrac{8}{4+b^2}+\cfrac{b^2+4}{8}-\cfrac{1}{2}\)
\(\ge 2\sqrt{\cfrac{8}{4+b^2}\cdot \cfrac{4+b^2}{8}}-\cfrac{1}{2}=2-\cfrac{1}{2}=\cfrac{3}{2}\)
当且仅当\(b=2\)，\(c=4\)时取到等号，故所求的最小值为\(\cfrac{3}{2}\)，故选\(C\)。
例3
已知\(f(n)=\cfrac{1}{n}+\cfrac{9}{n-6}\)，\(n\in N^*\)，求\(f(n)\)的最小值和最小值点。
分析：当\(n=2\)时，\(f(n)_{min}=2.75\).
均值不等式使用的另外一个